量子理論最顯著的特征之一是糾纏，即量子系統(tǒng)顯示出粒子或光子之間的非局域相關性，而這種相關性用經(jīng)典物理學是無法解釋的。例如，這可以通過違反貝爾不等式來證明。雖然在許多情況下討論的是兩級系統(tǒng)（量子比特）之間的糾纏，但多級系統(tǒng)之間的高維糾纏提供了更豐富的結構。

高維糾纏態(tài)具有吸引力，因為它們的信息容量更大，而且抗噪聲和抗損耗能力更強。此外，利用自發(fā)參量下變頻（SPDC）生成高維糾纏態(tài)以及利用液晶空間光調制器對其進行塑形也相對簡單。

在 SPDC中，一束強平面波泵浦光束撞擊非線性晶體，如 PPKTP（周期輪詢 KTP）。在與晶體非線性系數(shù)相關的某種概率下，一個泵浦光子將被湮滅，同時產(chǎn)生兩個糾纏光子（圖 1a）。由于能量必須守恒，這兩個光子的頻率必須與泵浦光子的頻率相加，這里我們將假設它們具有相同頻率的退化情況（圖 1b）。由于動量必須保持不變，因此產(chǎn)生的光子的波矢量必須與泵浦光子的波矢量相加，而泵浦光子的波矢量是指向特定方向的，因為泵浦光子是平面波。因此，這兩個光子的橫向動量將具有反相關性（圖 1c）。這意味著，如果一個光子以某個角度發(fā)射，它的孿生光子就會以與泵浦光束相反的方向發(fā)射。

圖 1： (a) 遵循能量（b）和動量（c）守恒的 SPDC 過程示意圖。(d) 由此產(chǎn)生的量子態(tài)。(e)和(f)是大施密特數(shù)下晶體遠場的典型單計數(shù)和重合計數(shù)。(g) 疊加態(tài)中的模式數(shù)的分析近似值。

事實上，這兩個光子的生成狀態(tài)是這些不同角度發(fā)射的相干疊加，每個光子的方向相反，其系數(shù)取決于精確的相位匹配條件（圖 1d），通常像 sinc 函數(shù)一樣取決于角度[5]。這些相關性可以在遠場進行測量。使用簡單的照相機，我們可以觀察到 “單計數(shù)”，即在相位匹配允許的所有方向上發(fā)射的光子的平均強度，這可能是一個相當寬的區(qū)域（圖 1e）。然而，如果進行重合測量，就會發(fā)現(xiàn)在某一角度測量到一個光子，那么孿生光子總是具有很強的相關性，并且會在更小的 “重合區(qū)域 ”中被發(fā)現(xiàn)（圖 1f）。

重合區(qū)與單計數(shù)區(qū)之間的比率量化了量子疊加中不同模式的數(shù)量，這與其施密特秩有關[6, 7]（圖 1g）。因此，要定制 SPDC 的空間糾纏特性，應同時考慮相位匹配函數(shù)的寬度（控制單計數(shù)區(qū)）和相關性的強度，并相應地規(guī)劃光學裝置。

具體來說，相位匹配 sinc 函數(shù)的角寬度 b，或等同于 SPDC 過程所允許的角度范圍，由泵浦波長 λ_p 和晶體厚度 L 決定，約為 √(λ_p/L) 因此，雖然使用薄晶體會因相互作用長度較短而導致 SPDC 通量較小，但通常允許的發(fā)射角度范圍較大，并會產(chǎn)生高度空間糾纏態(tài)。

相反，重合區(qū)域的寬度由泵浦的角頻譜 σ 決定。事實上，對于具有單一定義明確的動量矢量的平面波泵浦來說，我們期待完美的相關性。然而，有限的泵浦光束必然包含許多不同的角度，這將導致動量守恒中的角度失配。這通常被稱為從泵到 SPDC 相關性的角頻譜轉移。

總之，使用具有窄角譜的寬泵浦光束和薄晶體會增加 SPDC 空間糾纏的維度。關于有效模式數(shù)量的推理同樣適用于近場： 寬泵浦光束會產(chǎn)生相應大的 SPDC 光子發(fā)射區(qū)域，而薄晶體則會導致每對光子在晶體輸出端都具有很強的空間相關性，這是因為它們從產(chǎn)生點出發(fā)的傳播距離很小。

當然，人們并不總是想要高維的空間糾纏。例如，在許多情況下，SPDC 光子會耦合到單模光纖中。在這種情況下，我們希望只產(chǎn)生一個空間模式，以獲得與光纖的良好耦合。一個很好的經(jīng)驗法則是將泵浦的瑞利長度設定為晶體的長度。