鏡頭執行從物體到圖像平面的近似一對一映射。圖像平面上的這種映射保持在景深范圍內（如果物體位于無限遠處，則稱為焦深）。當圖像之間的距離大于景深時，鏡頭就必須重新對焦。這種重新對焦機制會增加成像系統的成本、復雜性和重量。

在這里，我們展示了通過合理設計多級衍射透鏡（MDL），可以將焦深大幅提升4個數量級以上。具體來說，當λ=0.85μm的準直光照射時，MDL 產生的光束在5mm至1200mm的范圍內保持聚焦。測得的聚焦光束半峰全寬(FWHM)從 6.6μm（距離 MDL  5mm）到 524μm（距離 MDL 1200mm）不等。由于側面被很好地抑制，而主面接近衍射極限，因此可以在整個焦距范圍內以 40°x30° 的水平垂直視場進行成像。該演示為透鏡設計開辟了一個新方向，即通過將焦平面上的相位作為自由參數處理，可以實現超深焦距成像。

引言

透鏡是一種光學元件，可將入射準直光聚焦成焦點。在透鏡法線上測量到的光斑保持緊密聚焦的距離范圍通常稱為焦深（DOF）。焦深（DOF）與焦斑尺寸 W 之間存在直接關系，其公式為

其中，NA 是鏡頭的數值孔徑，λ是照明波長。用于成像時，等效范圍之外的物體圖像會變得模糊。顯然，有很多理由需要擴大這一范圍以增強 DOF 成像。這可以通過波前編碼、計算或兩者的結合。波前編碼和相關方法（如對數非球面）通常會在分辨率和 DOF 之間進行權衡，有時會犧牲圖像質量，這主要是由于側面的增加。軸心可用于增強  DOF，但圖像分辨率和視場會受到嚴重影響。此外，還展示了具有多個離散焦點的鏡頭。瞳孔平面上的經過優化的調焦器以及二元相位優化相位掩膜本身或與折射透鏡結合使用，都可用于增強 DOF。在這種情況下，DOF 的增強都相對較小，小于1個數量級。許多先前的例子都需要大量的后期處理；它們的視場（FOV）被嚴重縮減或需要多個元素，而且往往很厚。計算增強 DOF 也會受到噪聲放大和對采集信號信噪比的高度敏感性。表 S1總結了這一領域之前的相關工作。表 S1總結了這一領域之前的相關工作。超過衍射極限的最佳DOF增強值約為600，這是通過分形區板與衍射極限相結合實現的。在本文中，我們展示了通過適當設計平面多級衍射透鏡 (MDL) 的設計，可以將DOF增加到衍射受限情況的 104倍以上。MDL的設計目的是在衍射極限的在 Ζ= fmin 到Ζ= fmax 的整個范圍內聚焦。距離fmin和fmax分別是最小和最大值。分別為最小如

其中，z ε ( fmin, fmax) 和R是MDL的半徑。換句話說，正如衍射極限所預期的那樣，NA隨z變化。我們的MDL在Ζ= fmin =5mm時的NA最大為0.18。fmin - fmax =1.2m~λ*106 的范圍是新的DOF，與衍射極限情況相比，該N的最大DOF增強為((106*λ)/(λ/NA2))>3*104 ，這比之前演示的都要大很多個數量級。有了如此大的 DOF，就有可能從相機中移除對焦機構，從而降低成本、重量和相關復雜性。

圖 1. (a) 顯示超深焦距（ExDOF）成像的多級衍射透鏡（MDL）示意圖。(b) MDL 的幾何形狀，焦距范圍為5~1200mm，光圈為1.8mm。(c)焦距為5~1200mm的MDL 在 y-z 平面上的模擬強度分布和(d)測量強度分布。工作波長為850 nm。

圖 2. (a) 制造的MDL的光學顯微照片，插圖顯示透鏡中心的放大視圖。  (b) 實測、模擬、和衍射極限半峰全寬（FWHM）與z的函數關系。(c-i)模擬和(j-p)測量的點擴散函數（x軸和x軸的光強分布）。(x-y 平面上的光強分布）與z（距離 MDL）的函數關系。

設計

我們設計方法的靈感來自于我們最近對于強度成像的演示，焦平面上的相位可被視為自由參數。原則上，這將使理想透鏡問題的無解，可以根據其他要求，如消色差或增強DOF選擇所需的解決方案。通過只限制在較大焦距范圍內聚焦強度，并允許焦距范圍內的相位變化，我們可以通過以下方法解決非線性相反的問題。我們選擇省略對設計方法的深入討論，以使本文的信息足夠簡潔，從而突出這項工作的真正意義。總的來說我們通過選擇MDL各組成部分的高度分布，最大限度地提高MDL的聚焦效率。總之，對于我們的極限焦深（ExDOF）MDL，聚焦效率被定義為直徑為3*FWHM的光斑內的功率與入射功率之比，計算結果為所需聚焦范圍內每個焦平面的功率。焦距范圍是指從 MDL 測得的距離范圍[圖1(a) 中的 fmax-fmin]。環高的選擇基于梯度下降定向二元搜索技術。該優化程序與傳統的菲涅爾-基爾霍夫衍射積分相結合，為光束傳播建模。在整個Z 范圍內，利用基爾霍夫衍射積分來模擬從透鏡平面到觀測平面的光束傳播。假設有單位振幅的均勻光束照射到 MDL 上。MDL 對偏振不敏感，我們注意到這里的所有實驗都是用非偏振光進行的。我們設計、制造并鑒定了λ=0.85μm的 ExDOF MDL，其參數如下：fmin=5mm，fmax=1200mm，孔徑為1.8mm。限制設計為環寬3 米，最多100個數量級，最大高度為2.6μm。請注意，f#（NA）因焦距擴展在2.78 (0.18) 和 555.56 (0.0009)之間而變化。衍射極限在此特定設計中，由λ/max(NA)2得出的衍射極限DOF為 26μm。因此，與衍射極限相比，DOF的增強值為

即 3.8104。這種增強效果比之前展示的任何效果都要高出幾個數量級，而且無需對圖像進行后期處理。我們在此強調的是，我們確保單個平面 MDL 能夠跨越如此大的 NA 范圍，換句話說，這導致了成像中的 ExDOF，衍射極限決定了距離MDL較遠的焦斑會更大。

結果與討論

在 x-z 平面上的光強分布中的光強分布進行了模擬，并繪制了MDL的模擬圖見圖。從模擬結果中可以明顯看出，焦點的在整個主面所需的焦距范圍內，焦點保持不變。觀察到MDL的FWHM在整個焦距范圍內接近衍射極限。例如，在1200mm的距離上，FWHM為 524μm。相應的測量結果如圖所示。在這種情況下，側面在所需的焦距范圍內也得到了相當好的抑制。例如貝塞爾光束，這對于成像極為重要。正色調光刻膠 S1813（微化學）的材料色散在設計和仿真中均被假定或模擬。然后使用灰度光刻技術制造出器件。請注意，由于我們的制造限制，我們的最大環高為2.6μm。圖 2(a)顯示了制作好的MDL 的光學顯微照片。

圖3。在不重新聚焦的情況下成像不同的物體距離。（a） 距離MDL不同距離u的物體的聚焦圖像在相同的圖像距離v處形成。（b）固定v和變化u的空軍分辨率圖的圖像。每行v的值是固定的，u的值記在每張圖像的括號中。（c） 對于從記錄圖像中提取的各種v值，放大率作為u的函數。在不重新聚焦的情況下以不同的圖像距離成像。

MDL 由超連續光源發出的準直光束照射。配有可調濾光片，可調波長為850 nm，帶寬為15nm。帶寬為15  nm。點光源直接記錄在單色CMOS圖像傳感器上。將圖像傳感器放置在云臺上，在距離MDL不同距離處捕捉 PSF。然后，將這些圖像連接起來，創建x-z切片，如圖 1(d)所示。根據這些分布，我們通過實驗 確認入射光始終聚焦在所需的焦距范圍內，即5-1200mm。我們還注意到實驗結果與模擬結果一致。從模擬和從模擬和測量的PSF中提取。然后作為z的函數繪制在圖  2(b) 中。將衍射極限FWHM 也繪制出來作比較。我們注意到這三幅圖之間存在極好的一致性。我們總結了模擬的和測量的值的PSF，分別是z（MDL與圖像傳感器之間的距離）為25、50、200、500、750、1000 和 1200mm。記錄的其他一些z值的PSF也如圖 S1 所示。實驗和模擬結果盡管我們認為部分差異可歸因于預期的制造誤差。無論如何，MDL顯然能將入射光聚焦到其設計焦距的在其設計的焦距范圍內，入射光接近衍射極限。我們還根據測得的PSF計算了聚焦效率和調制傳遞函數與z的函數關系，并在圖S2和圖S7中分別總結了這些數據。

圖4。（a）固定距離u處物體的聚焦圖像是在大范圍的圖像距離v處形成的。（b）固定u和變化v的空值分辨率圖的圖像。每行u的值是固定的，v的值記在每張圖像的括號中。（c） 對于從記錄的圖像中提取的各種u值，放大率作為v的函數。

對于固定焦距（f）的傳統鏡頭，物距（u）和像距（v）的關系式為物距（u）和像距（v）的關系式為 1/u+ /v=1/ f 。如果u或v中的任何一個發生變化，就必須調整另一個，以便獲取聚焦圖像。例如，如果物體靠近鏡頭則傳感器必須遠離鏡頭（增加 v）。由于ExDOF鏡頭的焦距不是一個固定值，因此我們可以對不同距離的物體成像 (改變u），而不一定要移動傳感器（固定  v）。在不同成像距離（改變 v）下對同一物體（固定 u）成像也是如此。為了說明這一概念，我們使用相同的CMOS圖像傳感器拍攝測試圖像。在每種情況下，都要調整曝光時間，以確保圖像不深。此外，我們還記錄了一個暗幀，并將其從圖像中減去。在所有實驗中  我們記錄了空值分辨率目標在兩種不同情況下的圖像。首先，我們保持MDL與圖像傳感器之間的距離 (v) 不變，并改變MDL與物體之間的距離 (u)，如圖 3(a) 所示。我們的想法是演示一種無需隨u變化而重新對焦的相機。記錄的MDL圖像如圖 3(b) 所示。每幅圖像的括號中均注明了u的值。我們注意到，MDL 能夠在u從50mm~1000mm的范圍內形成聚焦圖像，而其聚焦效果沒有任何變化，即無需重新聚焦。根據記錄的圖像，我們可以計算出攝像機的放大倍率，并將其繪制成圖3(c)中MDL的u和v的函數圖。我們注意到，MDL可以在不改變圖像距離 (v)的情況下改變倍率。放大率是u的反函數，這也是基本的幾何光學原理所預期的。為了提高原始圖像的質量，我們采用了標準的盲去卷積法（Blind deconvolution）來提高原始圖像的質量。

圖5。對具有大景深的場景進行成像。距離在200mm~6米之間的物體是焦點。圖中注明了每個物體與MDL（u）的距離。類似場景的視頻記錄包括可視化1和可視化2。

在下一組實驗中，我們保持u不變，改變v，同時記錄圖像，如圖4(a)所示。這些實驗表明，即使圖像距離 v 變化很大，物體圖像仍能保持對焦。記錄的圖像匯總如圖4（b）所示。我們注意到，MDL能夠在v值為5~170 mm之間形成聚焦圖像，而u值沒有任何變化。在圖 4（c）中，我們提取了相應的放大率，并繪制了放大率隨u變化的曲線圖，根據基本幾何光學原理，放大率是 v 的線性函數。為了進行比較，我們還在圖3和圖4中重復了相同的實驗。使用兩個不同的菲涅耳透鏡，焦距分別為100 mm和602.5 mm，直徑為1.8  mm（與MDL相同）。毫不奇怪，傳統的菲涅耳透鏡不能獲得像MDL這樣大的自由度。為了完整性，我們還將MDL的聚焦性能與相同直徑的孔徑的MDL聚焦性能進行了比較。不出所料，光圈沒有聚焦能力。最后，為了展示MDL的成像潛力，我們對包含從200到5943  mm的大自由度物體的場景進行了成像。傳統的鏡頭無法在如此大的自由度上保持所有物體的聚焦。然而，MDL能夠在所有物體都聚焦的情況下拍攝單個圖像。該該場景的圖像也是用傳統鏡頭拍攝的，強調其減少的DOF。

結論

DOF是透鏡的基本屬性。由于認識到透鏡主要用于強度成像，我們可以將像面（或焦面）上的相位視為自由參數。因此，我們可以生成一個僅有相位的瞳孔函數，當它印在光束上時，焦點可以在比傳統透鏡大幾個數量級的距離內保持接近衍射極限。我們以一個瞳孔函數建模為多級衍射透鏡的例子，演示了從 5mm~1200mm的光束聚焦。此外，我們還對物體相距近 6m的場景進行了成像，所有這些物體都在聚焦范圍內。通過遵循這一設計理念，我們相信可以實現大帶寬、大DOF等全新類型的平面光學器件。最后，我們還要強調的是，我們光學系統的參數并不滿足弗勞恩霍夫（遠場）近似值的要求，該近似要求 (D2/( fmax *λ)＜<1),  其中D表示MDL的孔徑。在我們的MDL中等于 3.17，因此我們的系統屬于菲涅爾衍射系統。

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